Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1（m，n$為常數(shù)，m＞n＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2n-m．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得答案．

解答 解：如圖，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），

設(shè)P（x₀，y₀），則${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}={b}^{2}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（x₀+c，y₀）•（x₀-c，y₀）=${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-{c}^{2}$=b²-c²=2b²-a²=2n-m．
故答案為：2n-m．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了平面向量在圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．