Question

4．如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°．
（1）證明平面ABEF⊥平面EFDC；
（2）證明：CD∥EF
（3）求二面角E-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AF⊥EF，得AF⊥DF，從而AF⊥平面EFDC，由此能證明平面ABEF⊥平面EFDC．
（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，得∠DFE為二面角D-AF-E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，得∠CEF為二面角C-BE-F的平面角．從而∠DFE=∠CEF=60°．由此能證明CD∥EF．
（3）以E為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-BC-A的余弦值．

解答 證明：（1）∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．
∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，
∵DF∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
∵AF?平面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面EFDC．
（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，
可得∠DFE為二面角D-AF-E的平面角，
由CE⊥BE，BE⊥EF，
可得∠CEF為二面角C-BE-F的平面角．
可得∠DFE=∠CEF=60°．
∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，
∴AB∥平面EFDC，
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，
∴AB∥CD，∴CD∥EF．
解：（3）以E為原點，建立如圖所示的坐標系，設FD=a，
則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），A（2a，2a，0），
∴$\overrightarrow{EB}$=（0，2a，0），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{a}{2}$，-2a，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2a，0，0），
設平面BEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=2a{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=\frac{a}{2}{x}_{1}-2a{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），
設平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=\frac{a}{2}x-2ay+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2ax=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}=（0，\sqrt{3}，4）$，
設二面角E-BC-A的平面角為θ．
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{4}•\sqrt{19}}$=-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
∴二面角E-BC-A的余弦值為-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

點評 本題考查面面垂直、線線平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．