Question

12．已知{a_n}是等差數列，滿足a₁=1，a₄=-5，數列{b_n}滿足b₁=1，b₄=21，且{a_n+b_n}為等比數列．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設出數列的公差與公比，利用已知條件列出方程，求解數列{a_n}的通項公式然后求解{b_n}的通項公式．
（2）利用數列的通項公式，拆項，通過等差數列和等比數列分別求和即可．

解答 解：（1）設{a_n}的公差為d，{a_n+b_n}的公比為q，
∴$d=\frac{{{a_4}-{a_1}}}{4-1}=-2$，∴a_n=a₁+（n-1）d，=1+（n-1）×（-2）=-2n+3．
∵a₁+b₁=2，a₄+b₄=16，
∴${q^{4-1}}=\frac{{{a_4}+{b_4}}}{{{a_1}+{b_1}}}=8$，
∴q=2，∴${a_n}+{b_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$，
∴${b_n}={2^n}-{a_n}={2^n}+2n-3$．
（2）S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2¹-1）+（2²+1）+（2³+3）+…+（2ⁿ+2n-3）
=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+（-1+1+3+…+2n-3）
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{（-1+2n-3）n}{2}$=2ⁿ⁺¹+n²-2n-2

點評 本題考查等差數列以及等比數列的綜合應用，數列求和，考查計算能力．