Question

16．已知函數f（x）=a^x-1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，$\frac{1}{9}$）．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）=a^2x-a^x-2+8，當x∈[-2，1]時的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意：函數f（x）=a^x-1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，$\frac{1}{9}$）．帶入計算即可求a的值．
（2）求函數轉化為二次函數的問題求值域即可．

解答 解：（1）由題意：函數f（x）=a^x-1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，$\frac{1}{9}$）．
則有：$\frac{1}{9}={a}^{3-1}$
解得：$a=\frac{1}{3}$．
（2）由（1）可知$a=\frac{1}{3}$，
那么：函數f（x）=a^2x-a^x-2+8=$[（\frac{1}{3}）^{x}]^{2}$-4$（\frac{1}{3}）^{x}$+8
∵x∈[-2，1]
∴${（\frac{1}{3}）^x}∈[\frac{1}{3}，9]$
則$f（x）={[{（\frac{1}{3}）^x}]^2}-4{（\frac{1}{3}）^x}+8={[{（\frac{1}{3}）^x}-2]^2}+4$，
當${（\frac{1}{3}）^x}=9$，即x=-2時，f（x）_max=53．
當${（\frac{1}{3}）^x}=2$，即x=$lo{g}_{3}\frac{1}{2}$時，f（x）_min=4
所以函數的值域為[4，53]．

點評 本題考查了函數的帶值計算和復合函數的值域值法．考查了轉化思想，利用二次函數來求值域．屬于中檔題．