Question

12．設數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）都在函數f（x）=x+$\frac{{a}_{n}}{2x}$的圖象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表達式，并用數學歸納法證明；
（2）將數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為
（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；
（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；
（a₂₁），（a₂₂，a₂₃），（a₂₄，a₂₅，a₂₆），（a₂₇，a₂₈，a₂₉，a₃₀）；…
分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₂₀₁₈-b₁₃₁₄的值．

Answer 1

分析 （1））得到數列遞推式，代入計算可得結論，猜想a_n的表達式，再用數學歸納法證明，
（2）因為a_n=2n（n∈N^*），所以數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，故b₁₀₀是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20，同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20，利用等差數列的通項公式即可；

解答 解（1）∵點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在函數f（x）=x+$\frac{an}{2x}$的圖象上，
∴$\frac{Sn}{n}$=n+$\frac{an}{2n}$，∴S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．令n=1得，a₁=1+$\frac{1}{2}$a₁，∴a₁=2；
令n=2得，a₁+a₂=4+$\frac{1}{2}$a₂，∴a₂=4；令n=3得，a₁+a₂+a₃=9+$\frac{1}{2}$a₃，∴a₃=6．
由此猜想：a_n=2n，
用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，由上面的求解知，猜想成立．
②假設n=k（k≥1）時猜想成立，即a_k=2k成立，
則當n=k+1時，注意到S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），故S_k+1=（k+1）²+$\frac{1}{2}$a_k+1，S_k=k²+$\frac{1}{2}$a_k．
兩式相減得，a_k+1=2k+1+$\frac{1}{2}$a_k+1-$\frac{1}{2}$a_k，所以a_k+1=4k+2-a_k．
由歸納假設得，a_k=2k，故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）．
這說明n=k+1時，猜想也成立．
由①②知，對一切n∈N^*，a_n=2n成立，
（2）因為a_n=2n（n∈N^*），所以數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．
每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，
故b₂₀₁₈是第505組中第2個括號內各數之和，b₁₃₁₄是第329組中第2個括號內各數之和．
由分組規律知，各組第1個括號中所有數組成的數列是等差數列，且公差為20．
同理，由各組第2個括號中所有第1個數、所有第2個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20．
故各組第2個括號中各數之和構成等差數列，且公差為40．記b₂，b₆，b_10，…b_4n+2，．．，為{d_n}，則d_n為等差數列且公差為40，
因為b₂₀₁₈=d₅₀₅，b₁₃₁₄=d₃₂₉，
所以b₂₀₁₈-b₁₃₁₄=（505-329）×40=7040．

點評 此題考查了利用數學歸納法求解并進行證明數列的通項公式，還考查了學生的理解題意綜合能力，屬于中檔題