Question

2．已知函數f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（1）證明方程f（x）=g（x）在區間（1，2）內有且僅有唯一實根；
（2）記max{a，b}表示a，b兩個數中的較大者，方程f（x）=g（x）在區間（1，2）內的實數根為x₀，m（x）=max{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）內有兩個不等的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），判斷x₁+x₂與2x₀的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過解關于導函數的不等式，得到函數的單調性，結合零點存在定理證出結論即可；
（2）問題轉化為證$\frac{{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$＜（2x₀-x₁）ln（2x₀-x₁），（1＜x₁＜x₀＜2），（*），設H（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-（2x₀-x）ln（2x₀-x），（1＜x＜x₀＜2），根據函數的單調性證明即可．

解答 證明：（1）令F（x）=f（x）-g（x），
則F（x）=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$，定義域是（0，+∞），
F′（x）=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
x＞1時，F′（x）＞0，∴F（x）在（1，2）遞增，
又F（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，F（2）=2ln2-$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
而F（x）在（1，+∞）上連續，
根據零點存在定理可得：F（x）=0在區間（1，2）有且只有1個實根，
即方程f（x）=g（x）在區間（1，2）內有且僅有唯一實根；
（2）x₁+x₂＜2x₀，
證明過程如下：
顯然：m（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{e}^{x}}，1＜x{＜x}_{0}}\\{xlnx，x{＞x}_{0}}\end{array}\right.$，
當1＜x＜x₀時，m（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，m′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$＜0，
故m（x）單調遞減；
當x＞x₀時，m（x）=xlnx，m′（x）=1+lnx＞0，m（x）遞增，
要證x₁+x₂＜2x₀，
即證x₂＜2x₀-x₁，
由（1）知x₁＜x₀＜x₂，g（x₁）=f（x₂）=n，
故即證f（x₂）＜f（2x₀-x₁），
即證g（x₁）＜f（2x₀-x₁），
即證$\frac{{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$＜（2x₀-x₁）ln（2x₀-x₁），（1＜x₁＜x₀＜2），（*），
設H（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-（2x₀-x）ln（2x₀-x），（1＜x＜x₀＜2），
H′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$+ln（2x₀-x）+1，
∵1＜x＜x₀＜2，
∴$\frac{1-x}{{e}^{x}}$+1＞0，ln（2x₀-x）＞0，
∴H′（x）＞0，
∴H（x）在（1，x₀）遞增，
即H（x）＜H（x₀）=0，故（*）成立，
故x₁+x₂＜2x₀成立．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查不等式的證明以及轉化思想，是一道中檔題．