Question

9．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，AC=AD=2，BC=BD=1，點E是線段AD的中點．
（Ⅰ）如果CD=$\sqrt{2}$，求證：平面BCE⊥平面ABD；
（Ⅱ）如果∠CBD=$\frac{2π}{3}$，求直線CE和平面BCD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出BC⊥BD，AB⊥BC．由此能證明平面BCE⊥平面ABD．
（Ⅱ） 取線段BD的中點G，連接EG，CG，推導出EG⊥平面BCD，∠ECG為直線CE和平面BCD所成的角，由此能求出直線CE和平面BCD所成的角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵$BC=BD=1，CD=\sqrt{2}$，
∴BC²+BD²=CD²，∴BC⊥BD．…（2分）
∵AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AB⊥BC．
又∵AB∩BD=B，∴BC⊥平面ABD．…（4分）
又BC?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ABD…（6分）
解：（Ⅱ） 取線段BD的中點G，連接EG，CG．
在△ABD中，∵AE=ED，BG=GD，
∴EG∥AB．∵AB⊥平面BCD，∴EG⊥平面BCD…（8分）
∴直線EC在平面BCD內的射影為CG，
∠ECG為直線CE和平面BCD所成的角…（9分）
在△ABD中，$EG=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
在△BCD中，$C{G^2}=B{C^2}+B{G^2}-2BC•BG•cos\frac{2π}{3}=\frac{7}{4}$，CG=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
在△ECG中，$E{C^2}=E{G^2}+C{G^2}=\frac{5}{2}$，∴$EC=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
在Rt△ECG中，$cos∠ECG=\frac{CG}{CE}=\frac{{\sqrt{70}}}{10}$，
∴直線CE和平面BCD所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{70}}{10}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．