Question

19．某中學為了解初三年級學生“擲實心球”項目的整體情況，隨機抽取男、女生各20名進行測試，記錄的數據如下：

已知該項目評分標準為：

男生投擲距離（米）	…	[5.4，6.0）	[6.0，6.6）	[6.6，7.4）	[7.4，7.8）	[7.8，8.6）	[8.6，10.0）	[10.0，+∞）
女生投擲距離（米）	…	[5.1，5.4）	[5.4，5.6）	[5.6，6.4）	[6.4，6.8）	[6.8，7.2）	[7.2，7.6）	[7.6，+∞）
個人得分（分）	…	4	5	6	7	8	9	10

注：滿分10分，且得9分以上（含9分）定為“優秀”．
（Ⅰ）求上述20名女生得分的中位數和眾數；
（Ⅱ）從上述20名男生中，隨機抽取2名，求抽取的2名男生中優秀人數X的分布列；
（Ⅲ）根據以上樣本數據和你所學的統計知識，試估計該年級學生實心球項目的整體情況．（寫出兩個結論即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖能求出20名女生擲實心球得分的中位數和眾數．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能墳出抽取的2名男生中優秀人數X的分布列．
（Ⅲ）由莖葉圖得20名男生和女生擲實心球得分的中位數、眾數、平均數，由此能求出結果．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）20名女生擲實心球得分如下：
5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．
所以中位數為8，眾數為9．   …（3分）
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2．…（4分）
$P（{X=0}）=\frac{{C_{12}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{33}{95}$，
$P（{X=1}）=\frac{{C_{12}^1C_8^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{48}{95}$，
$P（{X=2}）=\frac{C_8^2}{{C_{20}^2}}=\frac{14}{95}$，
所以抽取的2名男生中優秀人數X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{33}{95}$	$\frac{48}{95}$	$\frac{14}{95}$

…（10分）
（Ⅲ）由莖葉圖得20名男生擲實心球得分如下：
4，4，4，6，6，6，7，7，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10．
所以中位數為8，眾數為9．
20名女生擲實心球得分的平均數為：$\overline{{x}_{女}}$=$\frac{1}{20}$（5+6+7+7+7+7+7+7+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9+10+10）=8，
20名男生擲實心球得分的平均數為：$\overline{{x}_{男}}$=$\frac{1}{20}$（4+4+4+6+6+6+7+7+8+8+8+8+9+9+9+9+9+10+10+10）=7.55．
∴該年級學生實心球項目的整體情況為：
①男生和女生的得分的中位數和眾數相等；
②男生得分的平均數小于女生得分的平均數．  …（13分）
評分建議：從平均數、方差、極差、中位數、眾數等角度對整個年級學生擲實心球項目的情況進行合理的說明即可；也可以對整個年級男、女生該項目情況進行對比；或根據目前情況對學生今后在該項目的訓練提出合理建議．

點評 本題考查中位數、眾數、離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意莖葉圖的性質的合理運用．