Question

3．已知函數f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6；
（Ⅱ）若對任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出即可；
（Ⅱ）問題轉化為{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，分別求出f（x），g（x）的最小值，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）＜6，即|2x-1|+|2x+3|＜6，
即$\left\{\begin{array}{l}x≤-\frac{3}{2}\\ 1-2x-2x-3＜6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}\\ 2x+3+1-2x＜6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥\frac{1}{2}\\ 2x-1+2x+3＜6.\end{array}\right.$，
∴$-2＜x≤-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}≤x＜1$，
∴-2＜x＜1，
所以不等式f（x）＜6的解集為{x|-2＜x＜1}．
（Ⅱ）對任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則有{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x-1|+2≥2，從而|a+3|≥2，
解得a≤-5或a≥-1，
故a∈（-∞，-5]∪[-1，+∞）．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及函數的最值問題，是一道中檔題．