Question

7．如圖所示，已知A、B、C是一條直路上的三點，AB與BC各等于2km，從三點分別遙望塔M，在A處看見塔在北偏東45°方向，在B處看塔在正東方向，在點C處看見塔在南偏東60°方向，則塔M到直路ABC的最短距離為$\frac{14+10\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 根據已知條件求得∠CMA，進而可推斷出△MBC與△MBA面積相等，利用三角形面積公式可求得CM和AM的關系，進而在△MAC中利用余弦定理求得a，最后根據三角形面積公式求得答案．

解答 解：已知AB=BC=2，∠AMB=45°，∠CMB=30°，∴∠CMA=75°
易見△MBC與△MBA面積相等，
∴AMsin45°=CMsin30°
即CM=$\sqrt{2}$AM，記AM=a，則CM=$\sqrt{2}$a，
在△MAC中，AC=4，由余弦定理得：16=3a²-2$\sqrt{2}$a²cos75°，
∴a²=$\frac{16}{4-\sqrt{3}}$，記M到AC的距離為h，則$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$a²sin75°=2h
得h=$\frac{14+10\sqrt{3}}{13}$，
∴塔到直路ABC的最短距離為：$\frac{{14+10\sqrt{3}}}{13}$．
故答案為：$\frac{{14+10\sqrt{3}}}{13}$．

點評 本題主要考查了解三角形的實際應用．考查了學生對基礎知識的綜合運用．