Question

如圖，已知△ABC三個頂點是A（-1，4），B（-2，-1），C（2，3）
（1）若BC邊的中間為D，求BC邊中線AD所在的直線方程．
（2）過A作AE⊥BC于點E，求垂線AE所在的直線方程，求垂線AE的長度．
（3）記過點A的直線為l，若點C到直線l的距離為3，求直線的方程．

Answer 1

考點：直線的一般式方程與直線的垂直關系,兩點間的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）由中點坐標公式得D的坐標，然后利用兩點式的BC邊中線AD所在的直線方程；
（2）由兩點求斜率可得kBC=

3+1

2+2

=1，進一步得到BC邊上的高線AE的斜率為-1，再由直線方程的點斜式求得
AE所在直線方程；由B（-2，-1），C（2，3）可得BC邊所在直線方程，由點到直線的距離公式求得A到BC的距離；
（3）當直線斜率不存在時，直線方程為x=-1，滿足C到l的距離為3；當直線斜率存在時，設出直線方程，化為一般式后由點到直線的距離公式得k，代回直線方程得答案．

解答： 解：（1）∵B（-2，-1），C（2，3），
由中點坐標公式得D（0，1），
又A（-1，4），
∴BC邊中線AD所在的直線方程為

y-1

4-1

=

x-0

-1-0

，
即3x+y-1=0；
（2）由兩點求斜率可得kBC=

3+1

2+2

=1，
∴BC邊上的高線AE的斜率為-1，
∴AE所在直線方程為y-4=-1×（x+1），即x+y-3=0；
由B（-2，-1），C（2，3）可得BC邊所在直線方程為

y+1

3+1

=

x+2

2+2

，
即x-y+1=0．
由A到BC的距離可得AE的長度為

|-1-4+1|

2

=2

2

；
（3）由題意可知，當直線斜率不存在時，直線方程為x=-1，滿足C到l的距離為3；
當直線斜率存在時，設直線方程為y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0．
由點到直線的距離公式得

|2k-3+k+4|

k2+1

=3，解得k=

4

3

．
∴直線方程為：4x-3y+16=0．
∴滿足條件的直線方程為x=-1或4x-3y+16=0．

點評：本題考查了直線的一般式方程和直線垂直的關系，考查了點到直線距離公式的應用，是基礎的計算題．