Question

關于x不等式log

1

a

（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0解集為單元素集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：對a討論，a＞1和0＜a＜1兩種情況，運用對數的換底公式，全部以a為底，運用對數函數的單調性，及換元法，令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，判斷單調性，再由二次不等式的解法與判別式的關系，即可得到所求范圍．

解答： 解：①當a＞1時，log

1

a

（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0
即為-log_a（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
令

x2+ax+5

=t（t≥0），則-log_a（t+1）•log₅（1+t²）+log_a3≥0，
由于log_a3＞0，log_a5＞0，
則有log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5≤0，
令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，則f（t）遞增，
且f（2）=0，即有f（t）≤f（2），即有t≤2．
即有0≤x²+ax+5≤4，由于只有一解，則判別式a²-4=0，解得，a=2；
②當0＜a＜1時，log

1

a

（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0
即為-log_a（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
令

x2+ax+5

=t（t≥0），則-log_a（t+1）•log₅（1+t²）+log_a3≥0，
由于log_a3＜0，log_a5＜0，
則有log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5≥0，
令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，則f（t）遞減，
且f（2）=0，即有f（t）≥f（2），即有t≤2．
即有x²+ax+5≤4，由于判別式a²-4＜0，則不等式的解集為∅．
綜上可得，a的取值范圍為{2}．

點評：本題考查對數不等式的解法，考查對數函數的單調性和運用，考查分類討論的思想方法，考查運算化簡能力，屬于中檔題和易錯題．