Question

如圖，正三棱柱（底面是正三角形且側棱垂直底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，
D是BC的中點，2A₁A=AB=a．
（Ⅰ）求證：AD⊥B₁D；
（Ⅱ）求三棱錐C-AB₁D的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得平面B₁C⊥平面ABC，AD⊥BC，由此能證明AD⊥B₁D．
（Ⅱ）由VC-AB1D=VB1-ACD，利用等積法能求出三棱錐C-AB₁D的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴平面B₁C⊥平面ABC，
又△ABC是正三角形，D是BC的中點，∴AD⊥BC，…（2分）
又平面ABC∩平面B₁C=BC，AD⊥平面B₁C，…（4分）
又B₁D?平面B₁C，∴AD⊥B₁D．…（6分）
（Ⅱ）解：∵BB₁⊥平面ACD，且BB₁=

a

2

，
S_△ACD=

1

2

SABC=

1

4

×a×a×sin60°=

3

8

a2，
∴VC-AB1D=VB1-ACD=

1

3

S△ACD×BB1=

3

48

a3．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．