Question

已知集合M={x|2014≤x≤2015}，N={x|x＜a，a∈Z}，若“x∈M”是“x∈N”的充分而不必要條件．
（1）求整數a的最小值；
（2）在（1）的條件下，寫出命題“若x+2014≤a，則

1

x-1

≥a-2015”的否命題，并判斷否命題的真假．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,四種命題

專題：集合,簡易邏輯

分析：（1）由“x∈M”是“x∈N”的充分而不必要條件，可得M?N，故a＞2015，結合a∈Z，可得整數a的最小值；
（2）在（1）的條件下，寫出命題“若x+2014≤a，則

1

x-1

≥a-2015”的否命題為“若x＞2，則

1

x-1

＜1”，由反比例型函數的圖象和性質，易判斷其真假．

解答： 解：（1）∵集合M={x|2014≤x≤2015}，N={x|x＜a，a∈Z}，
若“x∈M”是“x∈N”的充分而不必要條件．
則M?N，
故a＞2015，a∈Z，
故整數a的最小值為2016；
（2）在（1）的條件下，寫出命題“若x+2014≤a，則

1

x-1

≥a-2015”的否命題為：
“若x+2014＞2016，則

1

x-1

＜2016-2015”，
即“若x＞2，則

1

x-1

＜1”為真命題．

點評：本題考查的知識點是充要條件，集合的包含關系中的參數問題，四種命題，是邏輯與集合的綜合應用，難度不大，屬于基礎題．