Question

已知函數f（x）=x+

a

x

（a＜0），g（x）=2lnx+bx，且函數g（x）在x=1處的切線斜率為2．
（1）若對[1，+∞）內的一切實數x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）當a=-1時，求最大的正整數k，使得對[e，3]內的任意k個實數x₁、x₂、…x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）≤16g（x_k）成立；
（3）求證：ln（2n+1）＜

n

2

+

n

i=1

6i+1

4i2-1

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出g（x）的導數，由導數的幾何意義，即可求得，b=0，若對[1，+∞）內的一切實數x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，轉化為-a≤x²-2xlnx恒成立，利用導數即可求實數a的取值范圍；
（2）求出f（x）的導數，求得f（x）在[e，3]上的最大值，要對[e，3]內的任意k個實數x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，得到不等式（k-1）×

8

3

≤16×2，解得即可；
（3）由（1）知，當x＞1時，lnx＜

1

2

（x-

1

x

）成立．不妨令x=

2k+1

2k-1

，x∈N^*，先證明

1

4

[ln（2k+1）-ln（2k-1）]＜

k

4k2-1

，再代入累加，即可得出ln（2n+1）＜

n

i=1

4i

4i2-1

＜

n

2

+

n

i=1

6i+1

4i2-1

（n∈N^*），即可得證．

解答： 解：（1）g（x）=2lnx+bx的導數g′（x）=

2

x

+b，
由于函數g（x）在x=1處的切線斜率為2，
即有2+b=2，解得，b=0，即有g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

-a

x

≤x-2lnx，
由于x≥1，要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，
必須-a≤x²-2xlnx恒成立．  
設h（x）=x²-2xlnx，h′（x）=2x-2lnx-2，
∵h″（x）=2-

2

x

，∴當x≥1時，h″（x）≥0，則h′（x）是增函數，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函數，h（x）≥h（1）=0，-a≤1．
因此，實數a的取值范圍是-1≤a＜0．
（2）當a=-1時，f（x）=x-

1

x

，
∵f′（x）=1+

1

x2

，
∴f（x）在[e，3]（上是增函數，f（x）在[e，3]上的最大值為f（3）=

8

3

．
要對[e，3]內的任意k個實數x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
∵當x₁=x₂=…=x_k-1=3時，不等式左邊取得最大值，x_k=e時不等式右邊取得最小值．
∴（k-1）×

8

3

≤16×2，解得k≤13．
因此，k的最大值為13．
（3）證明：由（1）知，當x＞1時，lnx＜

1

2

（x-

1

x

）成立．
不妨令x=

2k+1

2k-1

，x∈N^*，
∴ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

（

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

）=

4k

4k2-1

，
∴

1

4

[ln（2k+1）-ln（2k-1）]＜

k

4k2-1

，
∴

1

4

（ln3-ln1）＜

1

4×12-1

，

1

4

（ln5-ln3）＜

2

4×22-1

，
…，

1

4

[ln（2n+1）-ln（2n-1）＜

n

4n2-1

，
累加可得

1

4

ln（2n+1）＜

n

i=1

i

4i2-1

，
即有ln（2n+1）＜4

n

i=1

i

4i2-1

=

n

i=1

4i

4i2-1

＜

n

2

+

n

i=1

6i+1

4i2-1

（n∈N^*）．
則原不等式成立．

點評：本題主要考查不等式恒成立以及不等式的證明，利用參數分離法轉化為參數恒成立問題，利用導數的應用是解決本題的關鍵．