Question

4．已知函數f（x）=alnx-（a+1）x-$\frac{1}{x}$．
（1）當a=-$\frac{3}{2}$時，討論f（x）的單調性；
（2）當a=1時，若g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，證明：當x＞1時，g（x）的圖象恒在f（x）的圖象上方；
（3）證明：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N⁺，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）a=1時，f（x）=lnx-2x-$\frac{1}{x}$，g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，設F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，求出函數的導數，利用導數性質推導出f（x）＜g（x）恒成立，由此能證明g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方；
（3）由lnx-x+1≤0 （x＞0），設K（x）=lnx-x+1，求出函數的導數，從而 $\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$，令x=n²，得 $\frac{l{nn}^{2}}{{n}^{2}}$≤1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，從而證明結論成立即可．

解答 解：（1）當a=-$\frac{3}{2}$時，f（x）=-$\frac{3}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$，（x＞0），
則f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{{2x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故f（x）的單調增區間為（0，1）及（2，+∞），減區間為（1，2）；
證明：（2）a=1時，f（x）=lnx-2x-$\frac{1}{x}$，
g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，
設F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，
F′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∵當x∈（0，1）時，F′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，F′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0，即f（x）＜g（x）恒成立，
∴g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方．
（3）由（2）知lnx-x+1≤0 （x＞0），
設K（x）=lnx-x+1，則K′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
當x∈（0，1）時，k′（x）＞0，∴k（x）為單調遞增函數；
當x∈（1，∞）時，k′（x）＜0，∴k（x）為單調遞減函數；
∴x=1為k（x）的極大值點，∴k（x）≤k（1）=0，
即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$，
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得 $\frac{l{nn}^{2}}{{n}^{2}}$≤1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$+1-$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）
=$\frac{1}{2}$[n-1-（ $\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）]
＜$\frac{1}{2}$[n-1-（ $\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）]
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{{2n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N⁺，n≥2）．

點評 本題考查函數的單調性的討論，考查g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方的證明，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質、構造法的合理運用．