Question

15．某單位共有10名員工，他們某年的收入如下表：

員工編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（萬元）	4	4.5	6	5	6.5	7.5	8	8.5	9	51

（1）從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于7萬的人數記為ξ，求ξ的分布列和期望；
（2）已知員工年薪收入與工作年限成正相關關系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4萬元，5.5萬元，6萬元，8.5萬元，預測該員工第五年的年薪為多少？
附：線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中系數計算公式分別為：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本均值．

Answer 1

分析 （1）ξ取值為0，1，2，求出相應的概率，即可求ξ的分布列和期望；
（2）利用最小二乘法，求出線性回歸方程，根據回歸方程預測．

解答 解：（1）年薪高于7萬的有5人，低于或等于7萬的有5人；則ξ取值為0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

數學期望為E（ξ）=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{5}{9}$+2×$\frac{2}{9}$=1．
（2）設x_i，y_i（i=1，2，3，4）分別表示工作年限及相應年薪，
則$\overline{x}$=2.5，$\overline{y}$=6，
$\sum_{i=1}^{4}$（x_i-$\overline{x}$）²=2.25+0.25+0.25+2.25=5，$\sum_{i=1}^{4}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.5）+0.5×0+1.5×2.5=7，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=1.4，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=6-1.4×2.5=2.5，
∴線性回歸方程：y=1.4x+2.5．
當x=5時，y=1.4×5+2.5=9.5，
可預測該員工第5年的年薪收入為9.5萬元．

點評 本題考查了古典概型的概率計算，求ξ的分布列和期望，線性回歸方程的解法及應用，考查計算能力，屬于中檔題．