Question

6．已知函數f（x）=xe^cosx（e為自然對數的底數），當x∈[-π，π]時，y=f（x）的圖象大致是，（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 判斷f（x）的奇偶性和單調性，即可得出答案．

解答 解：∵f（-x）=-xe^cos（-x）=-xe^cosx=-f（x），
∴f（x）是奇函數，圖象關于原點對稱，排除A，C；
∵f′（x）=e^cosx+xe^cosx•（-sinx）=e^cosx（1-xsinx），
令1-xsinx=0得sinx=$\frac{1}{x}$，
作出y=sinx和y=$\frac{1}{x}$的函數圖象可知兩圖象在（0，π）上存在一個交點（x₀，y₀），
當0＜x＜x₀時，1-xsinx＞0，當x₀＜x＜π時，1-xsinx＜0，
∴f（x）在（0，π）先增后減，
故選B．

點評 本題考查了函數奇偶性，單調性的判斷，導數與函數單調性的關系，屬于中檔題．