Question

20．“每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子．”一科研單位為了解員工愛好運動是否與性別有關，從單位隨機抽取30名員工進行了問卷調查，得到了如下列聯表：

	男性	女性	總計
愛好	10
不愛好		8
總計			30

已知在這30人中隨機抽取1人抽到愛好運動的員工的概率是$\frac{8}{15}$．
（1）請將上面的列聯表補充完整（在答題卷上直接填寫結果，不需要寫求解過程），并據此資料分析能否有把握認為愛好運動與性別有關？
（2）若從這30人中的女性員工中隨機抽取2人參加一活動，記愛好運動的人數為X，求X的分布列、數學期望．

Answer 1

分析 （1）根據概率計算愛好運動的人數，再根據總人數填表，計算觀測值k，結合概率表數據得出結論；
（2）利用超幾何分布的概率公式計算概率，得出分布列，再計算數學期望．

解答 解：（1）補充二聯表如下：

	男性	女性	總計
愛好	10	6	16
不愛好	6	8	14
總計	16	14	30

由已知數據可求得：
k=$\frac{30×（10×8-6×6）2}{16×14×16×14}$≈1.158＜3.841，所以沒有把握認為愛好運動與性別有關．
（2）X的取值可能為0，1，2．
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{4}{13}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{8}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{48}{91}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{15}{91}$．
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{4}{13}$	$\frac{48}{91}$	$\frac{15}{91}$

∴E（X）=0×$\frac{4}{13}$+1×$\frac{48}{91}$+2×$\frac{15}{91}$=$\frac{6}{7}$．

點評 本題考查了獨立檢驗思想，超幾何分布列與數學期望計算，屬于中檔題．