Question

14．定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足：對任意正數a，b，若f（a）-f（b）=1，則a-b＜1，稱f（x）是（0，+∞）上的“Ⅰ級函數”．下列函數中“Ⅰ級函數”的序號是①②③
①f（x）=x³②f（x）=e^x③f（x）=x+lnx．

Answer 1

分析 根據立方差公式判斷①，使用反證法判斷②，利用函數單調性和對數的運算性質判斷③．

解答 解：對于①，令f（a）-f（b）=1得a³-b³=1，即（a-b）（a²+ab+b²）=1，
∴a-b=$\frac{1}{{a}^{2}+ab+{b}^{2}}$，
∵a³-b³=1，a，b∈（0，+∞），∴a³=1+b³＞1，即a＞1，
∴a²+ab+b²＞1，∴a-b=$\frac{1}{{a}^{2}+ab+{b}^{2}}$＜1，
∴f（x）=x³是（0，+∞）上的“Ⅰ級函數”．
對于②，令f（a）-f（b）=1得e^a-e^b=1，
假設a-b≥1，即a≥b+1，則e^a≥e^b+1=e•e^b，
∴e^a-e^b≥e•e^b-e^b=（e-1）e^b，
∵b＞0，∴e^a-e^b≥（e-1）e^b＞1，
與e^a-e^b=1矛盾，∴a-b＜1，
∴f（x）=e^x是（0，+∞）上的“Ⅰ級函數”．
對于③，令f（a）-f（b）=1得a-b+lna-lnb=1，∴a-b=1+ln$\frac{b}{a}$，
∵f（x）=x+lnx是增函數，且f（a）-f（b）=1，
∴a＞b，∴ln$\frac{b}{a}$＜ln1=0，
∴a-b=1+ln$\frac{b}{a}$＜1．
∴f（x）=x+lnx是（0，+∞）上的“Ⅰ級函數”．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了對新定義的理解，函數單調性與函數大小比較，屬于中檔題．