Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，$\sqrt{3}$）．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
（1）求f（x）的最大值
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用向量的乘積關(guān)系求出解析式化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得最大值．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

解答 解：（1）由題意：向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，$\sqrt{3}$）．
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sinxcos+3=sin2x+3．
∵sin2x∈[-1，1]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2，4]，
故得f（x）的最大值為4．
（2）由（1）可得f（x）=sin2x+3．
∵2x∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]是單調(diào)增區(qū)間，即2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ$+\frac{π}{2}$，
解得：kπ$-\frac{π}{4}$≤x≤kπ$+\frac{π}{4}$，（k∈Z）
故得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ$-\frac{π}{4}$，kπ$+\frac{π}{4}$]，（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．