Question

18．已知四棱錐P-ABCD，側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD為等邊三角形，底面ABCD為菱形，且∠DAB=$\frac{π}{3}$．
（I）求證：PB⊥AD；
（Ⅱ）求直線PC與平面PAB所成的角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點O，連結PO，BO，由等邊三角形性質得PO⊥AD，由菱形性質得BO⊥AD，從而AD⊥平面POB，由此能證明PB⊥AD．
（Ⅱ）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，設AB=2，求出平面PAB的法向量，由此利用向量法能求出直線PC與平面PAB所成的角θ的正弦值．

解答 （I）證明：取AD中點O，連結PO，BO．
側面PAD為等邊三角形，底面ABCD為菱形且∠DAB=$\frac{π}{3}$，
∴PO⊥AD，BO⊥AD…2分
∵PO∩BO=O，∴AD⊥面POB…（4分）
∴PB⊥AD…（5分）
（Ⅱ）解：側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，∴PO?面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥面ABCD…（7分）
以O為坐標原點，OA方向為x軸，OB方向為y軸，OP方向為z軸建立空間直角坐標系，設A點坐標為（1，0，0）
則$B（0，\sqrt{3}，0），P（0，0，\sqrt{3}），C（-2，\sqrt{3}，0）$，
∴$\overrightarrow{PA}=（1，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{PC}=（-2，\sqrt{3}，-\sqrt{3}），\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$
設面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}-\sqrt{3}{z_1}=0}\\{-{x_1}+\sqrt{3}{y_1}=0}\end{array}}\right.$，令x₁=$\sqrt{3}$，解得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
∴sinθ=|$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{5}$，
即直線PC與面PAB所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…（12分）

點評 本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關系，考查線線垂直、線面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．