Question

18．已知△ABC的面積為S，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$S． 求cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據向量數量積的定義結合三角形的面積公式，以及同角的三角函數的關系，即可求出．

解答 解：設A、B、C所對邊分別為a，b，c，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$S，
∴bccosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$bcsinA，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA，
∴cos²A=$\frac{1}{2}$sin²A，
∵cos²A+sin²A=1，
∴cos²A=$\frac{1}{2}$（1-cos²A），
∴cos²A=$\frac{1}{3}$，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$S＞0，
∴coA＞0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查平面向量數量積的運算、三角形面積公式，屬于中檔題．