Question

6．（理）“十一黃金周”期間三亞景區迎來了游客高峰期．游客小李從“大小洞天”到景區“天涯海角”景區有L₁，L₂兩條路線（如圖），路線L₁上有A₁，A₂，A₃三個風景點，各風景點遇到堵塞的概率均為$\frac{2}{3}$；L₂路線上有B₁，B₂兩個風景點，各風景點遇到堵塞的概率依次為$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$．
（1）若走L₁路線，求最多遇到1次堵塞的概率；
（2）按照“平均遇到堵塞次數最少”的要求，請你幫助小李從上述兩條路線中選擇一條最好的旅游路線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設走L₁ 路線最多遇到1次堵塞為A事件，求出P（A）事件概率即可；
（2）比較選擇L₁，L₂的期望，設選擇L₂路線遇到堵塞次數為X，則X的可能取值為0，1，2，求出兩種情況的期望即可．

解答 解：（1）設走L₁ 路線最多遇到1次堵塞為A事件，則P（A）=${C}_{3}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{3}^{1}$×$\frac{2}{3}$×$\$ $（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{7}{27}$，
所以走L₁ 路線最多遇到1次堵塞的概率為$\frac{7}{27}$；
（2）根據題意，比較選擇L₁，L₂的期望，設選擇L₂路線遇到堵塞次數為X，
則X的可能取值為0，1，2，則
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$
P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$
P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$
故隨機變量X的期望為E（x）=$\frac{1}{10}$×0+$\frac{9}{20}$×1+$\frac{9}{20}$×2=$\frac{27}{20}$；
設選擇L₁ 路線遇到堵塞次數為Y，隨機變量Y服從二項分布，Y～B（3，$\frac{2}{3}$），
所以E（Y）=3×$\frac{2}{3}$=2，
因為E（X）＜E（Y），所以選擇L₂路線是最好的旅游線路．

點評 本題主要考查了對題意理解，二項分布與n次獨立重復試驗以及數學期望，屬中等題．