Question

1．（1）求證：sinα•sinβ=$\frac{1}{2}$[cos（α-β）-cos（α+β）]；
（2）在銳角△ABC中，∠A=60°，BC=2，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）、根據題意，利用余弦的和差公式可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，將兩個式子相加，解可得證明；
（2）、根據題意，結合正弦定理可得S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinBsinC，結合（1）的結論可得S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]，然后由△ABC為銳角三角形及B+C=120°可求B的范圍，進而代入S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]，計算可得答案．

解答 解：（1）證明：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
sinαsinβ=$\frac{1}{2}$[（cosαcosβ+sinαsinβ）+（cosαcosβ-sinαsinβ）]=$\frac{1}{2}$[cos（α-β）-cos（α+β）]；
即原等式可證；
（2）在銳角△ABC中，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²$\frac{sinBsinC}{si{n}^{2}A}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinBsinC，
由（1）可知，sinαsinβ=$\frac{1}{2}$[cos（α-β）-cos（α+β）]
=$\frac{1}{2}$[cos（B-C）+$\frac{1}{2}$]=$\frac{1}{2}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]；
故S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]，
0°＜B＜90°，0°＜C＜90°且B+C=120°，
則有30°＜B＜90°，
即30°＜2B-30°＜150°，
則$\frac{1}{2}$＜sin（2B-30°）≤1，
又由S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]，
故$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜S_△ABC≤$\sqrt{3}$．

點評 本題（1）考查三角函數的恒等變換，（2）考查正弦定理的應用，關鍵要正確利用（1）的結論．