Question

5．是否存在實數 a，使函數f（x）=cos²x+2asinx+3a-1在閉區間上的最大值為 4，若存在，則求出對應的 a 值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 化簡函數f（x），分a≤-1時，-1＜a＜1時，a≥1時，利用函數的單調性即可求出答案．

解答 解：f（x）=cos²x+2asinx+3a-1=1-sin²x+2asinx+3a-1=-sin²x+2asinx+3a=-（sinx-a）²+3a+a²，sinx∈[-1，1]，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴f（t）=-（t-a）²+3a+a²對稱軸為t=a，
 當a≤-1時，函數f（t）在[-1，1]上是減函數，∴f（x）_max=f（-1）=a-1=4，解得a=5，舍去
 當-1＜a＜1時，函數f（t）在[-1，a]上為增函數，在（a，1）上為減函數，∴f（x）_max=f（a）=3a+a²=4，解得a=1或a=-4，舍去，
當a≥1時，函數f（t）在[-1，1]上是增函數，∴f（x）_max=f（1）=5a-1=4，解得a=1，
綜上所述，存在實數a=1，使函數f（x）=cos²x+2asinx+3a-1在閉區間上的最大值為 4

點評 本題考查了二倍角公式以及二次函數的性質與應用問題，也考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題