Question

為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，已知該單位每月的處理量最少400噸，最多600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數關系可近似的表示為：

且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.

（1）該單位每月處理量為多少時，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？

 

Answer 1

（1）400噸；（2）不獲利，國家至少每月補貼40000元

【解析】

試題分析：（1）利用基本不等式解決實際問題時，應先仔細閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數量關系，并引入變量，依題意列出相應的函數關系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函數的最值時，若用基本不等式時，等號取不到時，可利用函數的單調性求解；（3）基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數的大小或證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點.（4）掌握二次函數在閉區間上的最值，注意區間和對稱軸的關系

試題解析：【解析】
由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：

，

當且僅當，即時，

才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元

設該單位每月獲利為

則

因為，所以當時，有最大值

故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40000元，才能不虧損

考點：1、利用基本不等式求最值；2、二次函數在閉區間上的最值