Question

5．已知函數f（x）=$\frac{ax+1}{|x|+1}$，x∈R，a∈R．
（1）a=1時，求證：f（x）在區間（-∞，0）上為單調增函數；
（2）當方程f（x）=3有解時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，根據函數單調性的定義證明即可；
（2）問題轉化為函數y=ax和y=3|x|+2有交點，從而求出a的范圍即可．

解答 證明：（1）a=1時，f（x）=$\frac{x+1}{|x|+1}$，
x＜0時，f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，
令x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{1}}$-$\frac{1{+x}_{2}}{1{-x}_{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{（1{-x}_{1}）（1{-x}_{2}）}$，
∵x₁＜x₂＜0，
∴（1-x₁）（1-x₂）＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區間（-∞，0）上為單調增函數；
解：（2）由f（x）=$\frac{ax+1}{|x|+1}$=3，
得：ax=3|x|+2，
畫出函數y=ax和y=3|x|+2的圖象，如圖示：
，
結合圖象，a＞3或a＜-3．

點評 本題考查了函數的單調性的證明，考查方程根的問題，考查轉化思想，數形結合思想，是一道中檔題．