Question

17．已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，不經過坐標原點的直線l與拋物線C相交于兩個不同點的A，B，且以AB為直徑的圓經過坐標原點O．
（1）求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
（2）△AFB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設直線l的方程為：y=kx+b，代入拋物線方程，利用韋達定理求得x₁+x₂，x₁x₂，由題意可得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0代入即可求得b的值，直線l的方程為y=kx+4，直線l過定點M（0，4）；
（2）由（1），弦長公式求得丨AB丨，由點到直線的距離公式求得F（0，1）到直線l：kx-y+4=0的距離為d，根據三角形的面積公式${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}•|AB|•d=6\sqrt{{k^2}+4}$，可得當k=0時，S_△AFB有最小值，且最小值為12．

解答 解：（1）證明：直線l的斜率顯然存在，又直線l不經過坐標原點，
故可設直線l的方程為y=kx+b（b?0），并設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y，整理得x²-4kx-4b=0①
∴x₁+x₂=4k，②x₁x₂=-4b③…（2分）
若以AB為直徑的圓過坐標原點O，則$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即④…（4分）
將③代入④，得$-4b+\frac{1}{16}{（-4b）^2}=0$，
解得b=4或b=0（舍去），
∴x₁x₂=-16，⑤
∴直線l的方程為y=kx+4，顯然，直線l過定點M（0，4）…（6分）
（2）由弦長公式得$|AB|=\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
把②⑤代入上式，得 $|AB|=4\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{{k^2}+4}$             …（8分）
設點F（0，1）到直線l：kx-y+4=0的距離為d，則$d=\frac{|0-1+4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{3}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}•|AB|•d=6\sqrt{{k^2}+4}$，…（10分）
∴當k=0時，S_△AFB有最小值，是12，
∴△AFB的面積存在最小值，最小值是12．                    …（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，點到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．