Question

19．已知|${\overrightarrow a}$|=$\frac{1}{2}$|${\overrightarrow b}$|，函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|${\overrightarrow a}$|x²+$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$x-|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|在R上有極值，則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的范圍是（　　）

• A． [$0\;，\;\frac{π}{6}$）
• B． $（\frac{π}{6}\;，\;π）$
• C． $（\frac{π}{3}\;，\;π）$
• D． $（\frac{π}{3}\;，\;π$]

Answer 1

分析 求出原函數的導函數，由導函數有零點，可得判別式大于0，由此求得兩向量夾角余弦值的范圍，進一步得到向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|${\overrightarrow a}$|x²+$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$x-|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|在R上有極值，則f'（x）=0有解．
f'（x）=x²+2|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
由f'（x）=0，得f'（x）=x²+2|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴判別式△＞0．即4|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，即4|$\overrightarrow{a}$|²＞4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ．即|$\overrightarrow{a}$|²＞2|$\overrightarrow{a}$|²cosθ．
∴cosθ＜$\frac{1}{2}$，即-1≤cosθ＜$\frac{1}{2}$，
即cosθ的取值范圍為[-1，$\frac{1}{2}$），
則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的范圍是（$\frac{π}{3}，π$]．
故選：D．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了數量積求向量的夾角，訓練了函數的極值與導函數零點的關系的應用，是中檔題．