Question

已知函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，且當x∈[0，

π

6

]時，f（x）的最小值為2．
（1）求的a值，并求f（x）單調遞增區間；
（2）將函數f（x）圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，再把所得圖象向右平移

π

12

個單位，得到函數g（x），求方程g（x）=2在區間[0，

π

2

]上的所有根之和．

Answer 1

考點：正弦函數的單調性,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由題意可得，當2x+

π

6

=

π

6

時，f（x）取得最小值為2sin

π

6

+a+1=2，求得a的值，可得 f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．
（2）由條件根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律可得函數g（x）=2sin（4x-

π

6

）+1．由方程g（x）=2，可得4x-

π

6

=

π

6

，或4x-

π

6

=

5π

6

，求得x的值，可得方程在區間[0，

π

2

]上的所有根之和．

解答： 解：（1）函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，且當x∈[0，

π

6

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，故當2x+

π

6

=

π

6

時，
f（x）取得最小值為2sin

π

6

+a+1=2，求得a=0，∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函數的增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）將函數f（x）圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，可得函數y=2sin（4x+

π

6

）+1 的圖象；
再把所得圖象向右平移

π

12

個單位，得到函數g（x）=2sin[4（x-

π

12

）+

π

6

]+1=2sin（4x-

π

6

）+1的圖象．
方程g（x）=2，即sin（4x-

π

6

）=

1

2

，在區間[0，

π

2

]上，4x-

π

6

∈[-

π

6

，

11π

6

]．
故由方程可得4x-

π

6

=

π

6

，或4x-

π

6

=

5π

6

，求得x=0，或x=

π

4

，
故方程在區間[0，

π

2

]上的所有根之和為

π

4

．

點評：本題主要考查正弦函數的定義域和值域，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于基礎題．