Question

1．設不等式4^x-m（4^x+2^x+1）≥0對于任意的x∈[0，1]恒成立，則實數m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 不等式4^x-m（4^x+2^x+1）≥0對于任意的x∈[0，1]恒成立⇒m≤$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}{+2}^{x}+1}$=$\frac{1}{{2}^{-2x}{+2}^{-x}+1}$（0≤x≤1）恒成立，構造函數f（x）=2^-2x+2^-x+1，利用配方法與指數函數單調性可求得f（x）_max=3，從而可得實數m的取值范圍．

解答 解：∵4^x-m（4^x+2^x+1）≥0對于任意的x∈[0，1]恒成立，
∴m≤$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}{+2}^{x}+1}$=$\frac{1}{{2}^{-2x}{+2}^{-x}+1}$（0≤x≤1）恒成立，
令f（x）=2^-2x+2^-x+1=（2^-x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵x∈[0，1]，∴2^-x∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）在區間[0，1]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（0）=3，
∴m≤$\frac{1}{3}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{3}$]．

點評 本題考查函數恒成立問題，分離參數m是關鍵，考查配方法與指數函數單調性的應用，突出考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．