Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4
（1）求證：DE⊥面PAC
（2）取PD中點Q，求三棱錐P-QBE體積．

Answer 1

分析 （1）推導出DE⊥AC，PA⊥DE，由此能證明DE⊥面PAC
（2）取PD中點Q，三棱錐P-QBE體積${V}_{P-QBE}=\frac{1}{2}{V}_{P-DBE}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，
AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4，
∴在梯形ABCD中，tan∠ADE=2=tan∠BAC，
∴∠ADE=90°-∠DAC，
∴DE⊥AC，
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DE，
∵PA∩AC=A，∴DE⊥面PAC
解：（2）取PD中點Q，
∴三棱錐P-QBE體積：
${V}_{P-QBE}=\frac{1}{2}{V}_{P-DBE}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S}_{△DBE}×PA$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．