Question

11．已知$f（x）={（{log_{\frac{1}{2}}}x）^2}-2{log_{\frac{1}{2}}}x+4，x∈[{2，4}]$
（1）設$t={log_{\frac{1}{2}}}x，x∈[{2，4}]$，求t的最大值與最小值
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）$t={log_{\frac{1}{2}}}x，x∈[{2，4}]$，可得t在x∈[2，4]上是減函數，即可得出．
（2）f（x）=t²-2t+4=（t-1）²+3=g（t），可得g（t）在t∈[-2，-1]單調遞減，即可得出值域．

解答 解：（1）$t={log_{\frac{1}{2}}}x，x∈[{2，4}]$，
∴t在x∈[2，4]上是減函數，∴x=2時t有最大值$lo{g}_{\frac{1}{2}}2$=-1；x=4時t有最小值$lo{g}_{\frac{1}{2}}4$=-2．
（2）f（x）=t²-2t+4=（t-1）²+3=g（t），
∴g（t）在t∈[-2，-1]單調遞減，∴t=-2（即x=4），取得最大值，g（-2）=12．
t=-1（即x=2），取得最小值，g（-1）=7．
所以函數f（x）的值域[7，12]．

點評 本題考查了對數函數與二次函數的單調性、值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．