Question

16．已知點P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的一點，且以點P及焦點F₁，F₂為頂點的三角形面積等于1，求點P的坐標．

Answer 1

分析 由橢圓方程可知：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，c=$\sqrt{5-4}$=1，由三角的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，代入橢圓方程得：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{1}{4}$=1，即可求得丨x丨=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，即可求得點P的坐標．

解答 解：F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦點，c=$\sqrt{5-4}$=1，
則F₁（-1，0），F₂（1，0），
設P（x，y）是橢圓上的一點，
由三角的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，
將丨y丨=1代入橢圓方程得：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{1}{4}$=1，
解得：丨x丨=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴點P的坐標為（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，1））（-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，1）（$-\frac{{\sqrt{15}}}{2}，-1$）（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，-1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及性質，考查三角形的面積公式，考查求得橢圓上點坐標的方法，考查計算能力，屬于基礎題．