Question

9．已知函數f（x）=$\frac{x-a}$的圖象過點A（0，$\frac{3}{2}$），B（3，3）
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（2，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明；
（3）若m，n∈（2，+∞）且函數f（x）在[m，n]上的值域為[1，3]，求m+n的值．

Answer 1

分析 （1）將A、B的坐標代入函數的解析式，求出a，b的值即可；
（2）根據函數單調性的定義證明即可；
（3）根據函數的單調性得到關于m、n的方程，求出m、n的值，從而求出m+n的值即可．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{x-a}$的圖象過點A（0，$\frac{3}{2}$），B（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0-a}=\frac{3}{2}}\\{\frac{3-a}=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$…（2分）
∴f（x）=$\frac{3}{x-2}$      …（4分）
（2）函數f（x）在（2，+∞）上單調遞減，
證明：任取x₂＞x₁＞2，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$…（6分）
∵x₂＞x₁＞2，
∴x₂-x₁＞0，x₁-2＞0，x₂-2＞0，
∴$\frac{3{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$＞0，得f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
函數f（x）在（2，+∞）上是單調遞減函數    …（8分）
（3）∵m，n∈（2，+∞），
∴函數f（x）在[m，n]上單調遞減，
∴f（m）=3，f（n）=1       …（10分）
∴$\frac{3}{m-2}$=3，$\frac{3}{n-2}$=1，
∴m=3，n=5，
∴m+n=8         …（12分）

點評 本題考查了求函數的解析式，函數的單調性以及函數的值域問題，是一道中檔題．