Question

16．如圖，已知P（x₀，y₀）是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上一點，過原點的斜率分別為k₁，k₂的兩條直線與圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{4}{5}$均相切，且交橢圓于A，B兩點．
（1）求證：k₁k₂=-$\frac{1}{4}$；
（2）求|OA|•|OB|得最大值．

Answer 1

分析 （1）推導出k₁，k₂是方程（4-5x₀²）k²+10x₀y₀k+4-5y₀²=0的兩根，由此能利用韋達定理能求出k₁k₂為定值；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，由此利用橢圓性質，結合已知條件運用基本不等式能求出|OA|•|OB|的最大值．

解答 （1）證明：由圓P與直線OA：y=k₁x相切，
可得$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即（4-5x₀²）k₁²+10x₀y₀k₁+4-5y₀²=0，
同理，（4-5x₀²）k₂²+10x₀y₀k₂+4-5y₀²=0，
即有k₁，k₂是方程（4-5x₀²）k²+10x₀y₀k+4-5y₀²=0的兩根，
可得k₁k₂=$\frac{4-5{{y}_{0}}^{2}}{4-5{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{-1+\frac{5}{4}{{x}_{0}}^{2}}{4-4{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．
（2）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，
解得x₁²=$\frac{4}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，y₁²=$\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，
同理，x₂²=$\frac{16{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，y₂²=$\frac{1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，
（|OA|•|OB|）²=（$\frac{4}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$）•（$\frac{16{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
∴|OA|•|OB|=2$\sqrt{1+\frac{9{{k}_{1}}^{2}}{16{{k}_{1}}^{4}+8{{k}_{1}}^{2}+1}}$
=2$\sqrt{1+\frac{9}{16{{k}_{1}}^{2}+\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}+8}}$≤$\frac{5}{2}$
當且僅當k₁=±$\frac{1}{2}$時，取等號，
可得|OA|•|OB|的最大值為$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與求法，考查兩線段的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、圓的性質的合理運用．