Question

2．已知數列{a_n} 的前n項和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差數列，且a_n=b_n+b_n+1
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{3{{（{b_n}+2）}^n}}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出數列{a_n}的通項公式，再求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數列{c_n}的通項，利用錯位相減法求數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}的前n項和${S_n}=3{n^2}+8n$，
∴a₁=11．
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=3{n^2}+8n-3{（n-1）^2}-8（n-1）=6n+5$．
又∵a_n=6n+5對n=1也成立所以a_n=6n+5，{b_n}是等差數列，設公差為d，則a_n=b_n+b_n+1=2b_n+d．
當n=1時，2b₁=11-d；當n=2時，2b₂=17-d
由$\left\{\begin{array}{l}2{b_1}=11-d\\ 2{b_2}=17-d\end{array}\right.$，
解得d=3，
所以數列{b_n}的通項公式為${b_n}=\frac{{{a_n}-d}}{2}=3n+1$；
（Ⅱ）由${c_n}=\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{3{{（{b_n}+2）}^n}}}=\frac{{{{（6n+6）}^{n+1}}}}{{3{{（3n+3）}^n}}}=（n+1）•{2^{n+1}}$，
于是，${T_n}=2•{2^2}+3•{2^3}+4•{2^4}+…+（n+1）•{2^{n+1}}$，
兩邊同乘以2，得$2{T_n}=2•{2^3}+3•{2^4}+…+n•{2^{n+1}}+（n+1）•{2^{n+2}}$．
兩式相減，得$-{T_n}=8-（n+1）•{2^{n+2}}+（{{2^3}+{2^4}+…+{2^{n+1}}}）$=$8-（n+1）•{2^{n+2}}+\frac{{8（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}$=-n•2ⁿ⁺²．
所以，${T_n}=n•{2^{n+2}}$．

點評 本題考查數列的通項與求和，著重考查等差數列的通項與錯位相減法的運用，考查分析與運算能力，屬于中檔題．