Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為常數）滿足條件；
①圖象經過原點；②f（1-x）=f（1+x）；③方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式
（2）若函數g（x）=|f（x）|-m有四個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系,函數解析式的求解及常用方法

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，依次確定c，a，b；從而求f（x）的解析式；
（2）函數g（x）=|f（x）|-m有四個零點可化為|f（x）|與y=m有四個不同的交點，作圖求解．

解答： 解：（1）由函數f（x）的圖象過原點知f（0）=0，
∴c=0；
又f（1-x）=f（1+x）；
∴a（1+x）²+b（1+x）=a（1-x）²+b（1-x）；
整理得（2a+b）x-（2a+b）=0，
∴2a+b=0，
即a=-

b

2

；
又∵方程f（x）=x有等根，
即ax²+（b-1）x=0，
故△=0，故b=1，a=-

1

2

；
故f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）函數g（x）=|f（x）|-m有四個零點可化為
|f（x）|與y=m有四個不同的交點，
作y=|f（x）|與y=m的圖象如下，

故0＜m＜

1

2

．

點評：本題考查了二次函數的圖象與性質及函數的零點與函數圖象的關系應用，屬于基礎題．