Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°．過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則

|AB|

|MN|

的最小值為（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  2 3

  3

• C、1
• D、

  3

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先畫出圖象、做出輔助線，設|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義得2|MN|=a+b，由題意和余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，再根據基本不等式，求得|AB|²的取值范圍，代入

|AB|2

|MN|2

化簡即可得到答案．

解答： 解：如右圖：過A、B分別作準線的垂線AQ、BP，垂足分別是Q、P，
設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得|AB|²=（a+b）²-ab，
因為ab≤(

a+b

2

)2，
則（a+b）²-ab≥（a+b）²-(

a+b

2

)2=

3

4

（a+b）²，即|AB|²≥

3

4

（a+b）²，
所以

|AB|2

|MN|2

≥

3 4 (a+b)2

1 4 (a+b)2

=3，
則

|AB|

|MN|

≥

3

，即所求的最小值是

3

，
故選：D．

點評：本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質，基本不等式求最值，余弦定理的應用等知識，屬于中檔題．