Question

3．數列{a_n}中，對任意自然數n∈N_*，恒有a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

Answer 1

分析 由題意易得a_n=2^n-1，可得{a_n²}是1為首項，4為公比的等比數列，由等比數列的求和公式可得．

解答 解：當n=1時，可得a₁=2¹-1=1，
當n≥2時，a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
當n=1時上式也適合，∴a_n=2^n-1，
∴$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{2}^{2n}}{{2}^{2n-2}}$=4，
∴{a_n²}是1為首項，4為公比的等比數列，
∴a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．
故答案為：$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

點評 本題考查等比數列的求和公式，涉及等比數列的判定，考查運算能力，屬基礎題．