Question

2．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為$ρ=2（{sinθ+cosθ+\frac{1}{ρ}}）$．
（1）求曲線C的參數方程；
（2）在曲線C上任取一點P（x，y），求的3x+4y最大值．

Answer 1

分析 （1）根據y=ρsinθ，x=ρcosθ，求出C的普通方程，從而求出參數方程即可；
（2）設出P的坐標，從而求出3x+4y的最大值即可．

解答 解：（1）由$ρ=2（{sinθ+cosθ+\frac{1}{ρ}}）$，得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ+1），
∴x²+y²=2x+2y+2，即（x-1）²+（y-1）²=4，
故曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=1+2sinθ\end{array}\right.（θ$為參數）．
（2）由（1）可設點P的坐標為（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），
∴3x+4y=3+6cosθ+4+8sinθ=7+10sin（θ+φ），
∴（3x+4y）_max=7+10=17．

點評 本題考查了極坐標方程以及參數方程和普通方程的轉化，考查求函數的最大值問題，是一道中檔題．