Question

12．已知函數$f（x）=\frac{lnx}{x}-1$．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）設m＞0，若函數g（x）=2xf（x）-x²+2x+m在$[{\frac{1}{e}，e}]$上有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，根據函數的單調性分別求出g（x）的極大值和極小值，得到關于m的不等式組，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
由$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}=0$，得x=e．
當0＜x＜e時，$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}＞0$；
當x＞e時，$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}＜0$．
所以函數f（x）在（0，e]上單調遞增，
在[e，+∞）上單調遞減…（5分）
（Ⅱ）g（x）=2ln x-x²+m，
則g′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{-2（x+1）（x-1）}{x}$．
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，∴當g′（x）=0時，x=1；
當$\frac{1}{e}$＜x＜1時，g′（x）＞0；
當1＜x＜e時，g′（x）＜0．
故g（x）在x=1處取得極大值g（1）=m-1．
又g（$\frac{1}{e}$）=m-2-$\frac{1}{e2}$，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（$\frac{1}{e}$）=4-e²+$\frac{1}{e2}$＜0，則g（e）＜g（$\frac{1}{e}$），
∴g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值是g（e）．…（8分）
g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點的條件是：
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=m-1＞0}\\{g（\frac{1}{e}）=m-2-\frac{1}{{e}^{2}}≤0}\end{array}\right.$，解得1＜m≤2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴實數m的取值范圍是（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及函數的零點，考查轉化思想，是一道中檔題．