Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）存在，對任意，有不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）如果存在、，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；

（3）對任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，以及利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解出即可；

（2）由題意可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，即可求得滿足條件的最大整數(shù)的值；

（3）由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上值域的子集，分別求出這兩個函數(shù)在區(qū)間上的值域，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）存在，對任意，有不等式成立，則.

，則對任意的恒成立，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.

函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減，所以，.

所以，，解得.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）存在、，使得成立，則，

即，

由（1）可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，

，滿足條件的最大整數(shù)的值為；

（3）對任意，存在，使得成立，

則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上值域的子集，

由（2）可知，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，

由題意可得，

則，解得.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.