Question

【題目】已知函數

（1）若，求函數的零點；

（2）若不存在相異實數、，使得成立．求實數的取值范圍；

（3）若對任意實數，總存在實數、，使得成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）零點分別是：、、；（2）；（3）.

【解析】

（1）解方程即可得出函數的零點；

（2）將函數的解析式表示為分段函數的形式，對實數分、、三種情況討論，分析函數在區間上的單調性，結合題中結論可求得實數的取值范圍；

（3）由題意可得，對實數分、、三種情況討論，分析函數在區間上的單調性，求得函數在區間上的最大值和最小值，進而可得出，由此可求得實數的最大值.

（1）當時，，令，可得，

所以，或，解得或，

所以，當時，函數的零點分別為、、；

（2）.

①當時，函數在上遞減，符合題意；

②當時，函數在上遞增，符合題意；

③當時，函數在上遞增，在上遞減，不符合題意.

綜上所述，實數的取值范圍是；

（3）由題意可得.

①當時，函數在上遞減，

則，，

；

②當時，函數在上遞增，

，，

；

③當時，函數在上遞增，在上遞減，

，.

當時，；

當時，.

綜上所述，，

因此，實數的最大值為.