【題目】已知函數(shù)
有且只有一個零點，其中
.
（1）求
的值；
（2）若對任意的
，有
成立，求實數(shù)
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題中條件得
，列方程即可求出結(jié)果；
（2）由（1）知
，先分析，當(dāng)
時，由
知不合題意；當(dāng)
時，構(gòu)造函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)分
和
兩種情況討論，即可求出結(jié)果.
解：（1）
的定義域為
，
.
由
，得
.
∵當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
，
∴在區(qū)間
上是增函數(shù)，在區(qū)間
上是減函數(shù)，
∴在
處取得最大值，由題意知
，解得；
（2）由（1）知，
當(dāng)時，取
，
，知不合題意；
當(dāng)時，設(shè)
，則
，
令
，得
，
，
①若
，即時，
在
上恒成立，
所以
在
上是增函數(shù)，
從而總有
，即
在上恒成立；
②若
，即時，對于
，
，
所以在
上單調(diào)遞減，
于是，當(dāng)取
時，
，即不成立，
故不合題意.
綜上，
的最大值為.
考前必練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某大學(xué)對參加“社會實踐活動”的全體志愿者進行學(xué)分考核，因該批志愿者表現(xiàn)良好，大學(xué)決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個等次，若某志愿者考核合格，授予
個學(xué)分；考核優(yōu)秀，授予
個學(xué)分，假設(shè)該大學(xué)志愿者甲、乙、丙考核優(yōu)秀的概率為
、
、
.他們考核所得的等次相互獨立.
（1）求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少一名考核為優(yōu)秀的概率；
（2）記在這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為隨機變量
，求隨機變量的分布列.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.
（1）求證：BC⊥PC；
（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
是拋物線
的焦點，恰好又是雙曲線
的右焦點，雙曲線
過點
，且其離心率為
．
（1）求拋物線
和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線
過點，且與拋物線交于
，
兩點，以
為直徑作圓
，設(shè)圓與
軸交于點
，
，求
的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
與燒開一壺水所用時間
的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖).
|
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
.
（1）根據(jù)散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒水時間
關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
的回歸方程類型?(不必說明理由)
（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量
成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數(shù)據(jù)
，
，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】常州別稱龍城，是一座有著3200多年歷史的文化古城.常州既有春秋淹城、天寧寺等名勝古跡，又有中華恐龍園、嬉戲谷等游樂景點，每年都有大量游客來常州參觀旅游.為合理配置旅游資源，管理部門對首次來中華恐龍園游覽的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中
的人計劃只游覽中華恐龍園，另外
的人計劃既游覽中華恐龍園又參觀天寧寺.每位游客若只游覽中華恐龍園，得1分；若既游覽中華恐龍園又參觀天寧寺，得2分.假設(shè)每位首次來中華恐龍園游覽的游客均按照計劃進行，且是否參觀天寧寺相互獨立，視頻率為概率.
（1）有2名首次來中華恐龍園游覽的游客是拼車到常州的，求“這2名游客都是既游覽中華恐龍園又參觀天寧寺”的概率；
（2）從首次來中華恐龍園游覽的游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）存在
，對任意
，有不等式
成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）如果存在
、，使得
成立，求滿足條件的最大整數(shù)
；
（3）對任意，存在，使得
成立，求實數(shù)的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在高中學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們經(jīng)常這樣說：“數(shù)學(xué)物理不分家，如果物理成績好，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就沒什么問題。”某班針對“高中生物理學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響”進行研究，得到了學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論。現(xiàn)從該班隨機抽取5位學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績，如下表：
(1)求數(shù)學(xué)成績y對物理成績x的線性回歸方程
。若某位學(xué)生的物理成績?yōu)?0分，預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績；
(2)要從抽取的這5位學(xué)生中隨機抽取2位參加一項知識競賽，求選中的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少有一位高于120分的概率。（參考公式： 
參考數(shù)據(jù)： 
）
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