Question

【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數與燒開一壺水所用時間的一組數據，且作了一定的數據處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖).

1.47	20.6	0.78	2.35	0.81	-19.3	16.2

表中.

（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型?(不必說明理由)

（2）根據判斷結果和表中數據，建立關于的回歸方程；

（3）若旋轉的弧度數與單位時間內煤氣輸出量成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數據，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

Answer 1

【答案】（1）選；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據散點圖的形狀可選擇合適的回歸模型；

（2）將數據代入最小二乘法公式求得，，求得和的值，進而可得出關于的回歸方程；

（3）設，可得關于的函數關系式，然后利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件．

（1）選更適宜

（2）由公式可得：，

，

所以所求回歸方程為；

（3）設，

則煤氣用量，

當且僅當時，等號成立，即當時，煤氣用量最小．