Question

【題目】已知函數，a，bR.

（1）若a＝1，求關于x的不等式的解集；

（2）若，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）(0，)；（2）具體見解析.

【解析】

（1）由已知表示函數的解析式，求導分析單調性，再聯系不等式的性質求解；

（2）求導分析此時函數單調性，表示出其極小值，討論極小值大于零、等于零與小于零的不同情況時對應的函數零點個數.

（1）a＝1時，，，

當x＞﹣2時，，所以在區間(﹣2，)上單調遞增，

由得x＞0；

當x≤﹣2時，，此時，

綜上可得，不等式的解集為(0,)；

（2）時，，，令得x＝﹣a﹣1，列表如下：

	-	0	+
		極小值

所以，當x＝﹣a﹣1時，函數的極小值為；

①當即時，對任意xR，都有

恒成立，從而函數無零點，

②當即時，對任意xR，都有

恒成立（當且僅當x＝0時，），從而函數的零點個數為1，

③當即時，

在區間[﹣a﹣1,﹣a]上，函數圖象是連續不斷的一條曲線，其中

，函數在區間[﹣a﹣1，)上單調遞增，所以函數在區間(﹣a﹣1,)上的零點個數為1；

在區間[4a,﹣a﹣1]上，函數圖象是連續不斷的一條曲線，其中,且，

令，，，所以在區間(,﹣1]上單調遞減，

由a＜﹣1得，即，所以，

又因為函數在區間(,﹣a﹣1]上單調遞減，所以函數在區間(,﹣a﹣1)上的零點個數為1；從而函數的零點個數為2.

綜上可得，當時，函數無零點，當時，函數的零點個數為1，當時，函數的零點個數為2.