【題目】已知函數
，
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）當
且
時，求證：
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】
（1）求得
，然后分
、
、
三種情況討論，分析導數的符號變化，可得出函數
的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；
（2）將所證不等式變形為
，設
，利用導數分析出函數
在區(qū)間
上單調遞增，由
可證得結論.
（1）由題意，得
.
①若，令
，得
；令
，得
.
故函數在
上單調遞減，在
上單調遞增；
②若，令，得；令，得.
故函數在上單調遞增，在上單調遞減；
③若，則
是常值函數，不存在單調性.
綜上所述，當時，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；
當時，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
當時，函數不存在單調性；
（2）當
時，
，則
即為
.
不等式兩邊同時除以
，得
，得.
記函數，則
.
設
.
當
時，
，所以函數
在上單調遞增.
所以當時，
.
所以
，所以函數在上單調遞增.
所以
，即.
故得證.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.
（1）求證：BC⊥PC；
（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
.
（1）存在
，對任意
，有不等式
成立，求實數
的取值范圍；
（2）如果存在
、，使得
成立，求滿足條件的最大整數
；
（3）對任意，存在，使得
成立，求實數的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程為
，以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線與曲線兩交點所在直線的極坐標方程；
（2）若直線
的極坐標方程為
，直線與
軸的交點為
，與曲線相交于
兩點，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；
（2）若直線與曲線相交于
、
兩點，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在高中學習過程中，同學們經常這樣說：“數學物理不分家，如果物理成績好，那么學習數學就沒什么問題。”某班針對“高中生物理學習對數學學習的影響”進行研究，得到了學生的物理成績與數學成績具有線性相關關系的結論。現從該班隨機抽取5位學生在一次考試中的數學和物理成績，如下表：
(1)求數學成績y對物理成績x的線性回歸方程
。若某位學生的物理成績?yōu)?0分，預測他的數學成績；
(2)要從抽取的這5位學生中隨機抽取2位參加一項知識競賽，求選中的學生的數學成績至少有一位高于120分的概率。（參考公式： 
參考數據： 
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），在極坐標（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點
為極點，
軸正半軸為極軸）中，圓
的方程為
（1）求圓的直角坐標方程；
（2）設圓與直線交于點
，
，若點
的坐標為
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于函數
有下述四個結論：
①
的周期為
；
②在
上單調遞增；
③函數
在
上有
個零點；
④函數的最小值為
.
其中所有正確結論的編號為（ ）
A.①②B.②③C.③④D.②④
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