Question

如圖，三棱柱的側(cè)棱平面，為等邊三角形，側(cè)面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn).

（1）若是棱中點(diǎn)時(shí)，求證：平面;

（2）當(dāng)時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

 

Answer 1

詳見解析

【解析】

試題分析：（1） 取的中點(diǎn)為，連接 ,由題設(shè)可知，為的中點(diǎn)，易證,可證四邊形是平行四邊形，所以 ，依據(jù)正三棱柱的條件，易證 ， ,這樣和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，所以平面 ；

（2）,只要設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,那么根據(jù)第一問的結(jié)論，用可以表示與高,根據(jù)體積為，即可求出.

（1）取的中點(diǎn)為，連接,

是的中點(diǎn), 是棱中點(diǎn),

∥,,,

則四邊形是平行四邊形，,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719221975303043/SYS201411171922315347580978_DA/SYS201411171922315347580978_DA.032.png">為正三角形，側(cè)面是正方形,

,所以,,

因?yàn)閭?cè)棱⊥平面，所以，

,，所以,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719221975303043/SYS201411171922315347580978_DA/SYS201411171922315347580978_DA.036.png">，，所以平面. 6分

（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為

由于E是的中點(diǎn)，△EAB的面積為定值。

∥平面，點(diǎn)F到平面的距離為定值

即為點(diǎn)C到平面平面的距離

又，且=

即 ， 所以正方形的邊長(zhǎng)為6. 12分

考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理2.面面垂直的判定定理；3.體積公式.